Boots 6 castaño Short Euro 5 Uk Ugg Genuine Classic en 5 39

Estudiamos algunas propiedades del anillo idempotente.

Enunciado
Sencillo Puro La Inclinado Púrpura Hombro Casual Pu Real Cuero Bandolera Bolso De Totes Taro Mujer Bolsa Color Azul USwEE Sea $(A,+,\cdot)$ un anillo idempotente, es decir un anillo que satisface $x^2=x$ para todo $x\in A.$
1. Demostrar que el anillo es conmutativo.
2. Estudiar la ley interna sobre $A$ definida por $x*y=x+y+xy$.
3. Demostrar que $x\leq y\Leftrightarrow xy=x$ es una relación de orden sobre $A$.
4. ¿Existe elemento mínimo en $(A,\leq)$?

Solución
1. Como el anillo es idempotente, se verifica $(x+y)^2=x+y\;\;\forall{x}\forall{y}\in A$. Entonces:

$\displaystyle\begin{aligned}
Cuero color Crossbody Asas Bolso Del Para Genuino Superior Carteras Vendimia Green Mujeres Black Manija Las La De Mifusanahorn Satchels qFR7C7 (x+y)^2&=(x+y)(x+y)\\
&=x^2+xy+yx+y^2\\
&=x+xy+yx+y\\
&\Rightarrow x+y=x+xy+yx+y\\
&\Rightarrow xy+yx=0\\
&\Rightarrow xy=-yx.
\end{aligned}$

Para todo $u\in A$ y haciendo $x=y=u$, la última igualdad se transforma en $u^2=-u^2$ o de forma equivalente, $u=-u$, lo cual implica que $xy=yx$ para todo $x,y$ elementos de $A$. Concluimos que el anillo es conmutativo.

2. Para todo $x,y,z$ elementos de $A:$

$\displaystyle\begin{aligned}
(x*y)*z&=(x+y+xy)*z\\
&=x+y+xy+z+xz+yz+xyz,
\end{aligned}$

$\displaystyle\begin{aligned}
x*(y*z)&=x*(y+z+yz)\\
&=x+y+z+yz+xy+xz+xyz.
\end{aligned}$Cruzados Para Pink Mujer M Nude Craze London Bolso Rosa x4wABq1Eq

Es decir, la operación $*$ es asociativa. Para todo $x,y$ elementos de $A$ y teniendo en cuenta que el anillo es conmutativo:

$x*y=x+y+xy=y+x+yx=y*x,$

lo cual implica que la operación $*$ es conmutativa. Para todo $x\in A:$

$x*0=0*x=x+0+0x=x.$

Es decir, $0$ es elemento neutro de $*$. Sea ahora $x\in A$ y supongamos que tiene elemento simétrico $x’$ con respecto de la operación $*$. Esto implica que $x*x’=x’*x=0$ o equivalentemente $x*x’=0$ por la propiedad conmutativa. Entonces, usando que $u=-u:$

$\displaystyle\begin{aligned}
x*x’=0&\Rightarrow x+x’+xx’=0\\
& \Rightarrow x(x+x’+xx’)=x0\\
& \Rightarrow x^2+xx’+x^2x’=0\\
& \Rightarrow x+xx’+xx’=0\\
& \Rightarrow x=0.
\end{aligned}$

Es decir, el único elemento que tiene simétrico, respecto de la operación $*$ es su neutro. Concluimos que $(A,*)$ es un semigrupo conmutativo con elemento neutro.

3. Para todo $x\in A$ se verifica $xx=x^2=x$, y por tanto $x\leq x$, es decir se cumple la propiedad reflexiva. Usando que el anillo es conmutativo:

Del Popular School La Para High Adulto Secundaria Pink Ligera De Gran Mochila Knapsack Capacidad Igspfbjn color Pink xwA7XHqYTn

$\left \{ \begin{matrix}x\leq y\\ y\leq x\end{matrix}\right. \Rightarrow \left \{ \begin{matrix}xy=x\\ yx=y\end{matrix}\right. \Rightarrow x=y.$

Se cumple por tanto la propiedad antisimétrica. Por otra parte

$\left \{ \begin{matrix}x\leq y\\ y\leq z\end{matrix}\right. \Rightarrow \left \{ \begin{matrix}xy=x\\ yz=y\end{matrix}\right. \Rightarrow xyz=x \Rightarrow xz=z \Rightarrow x\leq z,$

es decir, se cumple la propiedad transitiva. Concluimos que $\leq$ es relación de orden sobre $A$.

4. Para todo $x\in A$ se verifica $0x=0$ o de forma equivalente $0\leq x$ para todo $x\in A$. Por tanto $0$ es elemento mínimo en $(A,\leq)$.

Viaje Bolsa Maletín Mujer Almacenamiento Para De Salvaje Mujeres Trabajo Las Black Diario bolso Cuero black Gran Bolso Cubo onesize Capacidad qPp70
Esta entrada fue publicada en Álgebra. Guarda el talla White 6 para Puma Basket Uk mujer Zapatillas xB0w4x.